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特殊相対性理論のパラドックスについて
                              




掲示板に「時間差の謎」というテーマでご質問をいだきました。そこで回答をまとめ、掲示板に掲載しましたが、あまりに文章が長いため、掲示板では7分割となってしまいました。そこで、このページで一気掲載しておきますので、ご参考にしてください。


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時間差の謎 投稿者:鵜野 啓子  投稿日: 1月30日(金)11時48分0秒
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以前何かの本で読んで、解けない謎があります。それは宇宙船に乗って宇宙へ出て行った人が帰って来る時、帰ってきた地球では、宇宙より時間が遅く流れていて、宇宙で過ごしたはずの時間よりまだ昔の時を生きているということです。80日間世界一周の一日の時差は分かるのです。また、時間よ、止まれ!といって時間をとめることの出来る少年の話も漫画で読んだことがあるのですが、その場合は、ものすごいスピードでその子だけが行動するので、ほかの人の動作が止まったようになるのだという話もわかるのですが、この宇宙船の話だけはどうしても理解できません。これは物理学の世界の話なのかどうかも分かりませんが、その本には分かりやすく書いてあったと思うのですが、いくら読んでも分かりませんでした。時がたっても私の謎は深まるばかりです。奥様のご紹介でこのお部屋のことを教わりました。誰にも質問できないこの悩みを解決していただきたく、アクセスさせていただきました。どうかよろしくお願いいたします。

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鵜野さん、はじめましてKENZOUです。ようこそいらっしゃいました、大歓迎します。
さて、ご質問の件ですが、これはアインシュタインの特殊相対性理論の知識が必要となりますので、まず簡単にそのレビューをしますが、読まれて分からないところがあればどしどし質問をしてください。理解していただいてはじめてこの小文が活きますし、また、賢問に対し愚答を差しあげるのは私のもっとも得意とするところです。それでは始めます。


<特殊相対性理論について>

特殊相対性理論は、どのような慣性系から見ても真空中の光速度は一定である、という要請をベースに組み立てられた物理の理論(その正しさは完全に証明されています)です。ここで慣性系ってなに?・・・となりますが、これは便宜上、太陽系に固定した座標系とか、それに対して”等速度”で動いている座標系などを考えればいいと思います。等速度というのが一つのキーワードとなりますが、これについては後で説明しますので、それまでのお楽しみに。

さて、上に述べた「どのような慣性系から見ても真空中の光速度は一定である」なんて言われても、すぐにはピンときませんね。これは次のように考えればよいと思います。何処かへ市電Aに乗ってでかけたとします。今、市電Aに固定した座標系をKとしましょう。向こうから市電Bが走ってきました。この市電Bに固定された座標系をK’とし、ついでに地球に固定された座標系をEとします。また、市電A、Bの速さをそれぞれ時速VKmとします。ところで市電の速さは、一体何に対しての速さかというと(→普段あまりそのようなことは考えないが、ここは物理的に問題を捉えようとしているので)、地球に固定された座標系Eに対してということになりますね。
座標系Kと共に動いている(市電Aに乗っている)私には、向こうからくる市電Bの速さは2Vkm/H(=V+V)となりますね。これは速度の加法則とか合成則とかいわれるもので、実際、市電に乗って経験すれば、その通りだと感じることができますね。

しかし、これはあくまで速度が光速度に比べて非常に遅い場合に成り立つのであって、光速度に近い(光の速さは確か1秒間に地球を7周半回る速さ)、非常に早い速度の場合には、この常識がなんと覆ります。電車A、Bが互いに光速度ckm/Hrで動いていたとしますと、座標Kから観測した座標K’の電車Bの速さは常識通り2cKm/Hrとはならない! ではどうなるかというと光速度のcKm/Hrとなる。これは光速度以上のものは存在しないという特殊相対性理論からの要請からでてきます。
光の速度cKm/Hrはどんな等速度運動している座標系からみてもやはりcKm/Hrなのです。これを光速度不変の原理と呼んでおり、アインシュタインの特殊相対性理論の根幹を成すものです。・・・そうしたら等速度運動ではなく、加速度運動していたら(電車の運転手が急にアクセル?を踏んだら)どうなるんだ、ということになりますが、この場合は、アインシュタインの一般相対性理論の話となる訳で、時間は絶対的に遅れることになるということだけ指摘しておきます(双子のパラドックス参照)。一般相対性理論の話は曲がった空間などの話がでてきたりしますが、私は道に迷いそうになるので、ここでの世界の話は省略します(→実は余りよく知らない)。

◆以上の話を整理すると、
@アインシュタインの特殊相対性理論は、光速度はどんな座標系から見ても一定である(光速度不変の原理)ことからできている。
A同じ光速度で合い互いに近づく場合、相手の速度を観測してもはやはり光速度である。


<時間・空間の捉え方について>

ふ〜ん、なんとなく特殊相対性理論の概要は分かったが、なんで光速度はどんな座標系(慣性系)から見ても一定になるの?という疑問は一向に払拭されない、、、ですね。この辺の議論をやり始めると少し数学的になりますので、このことはまた別の機会に譲るとして、ここでは、特殊相対性理論の骨子となる時間・空間の考え方を述べておきます。

普通、時間というものを座標とは別に特別なものとして捉えていますが、特殊相対性理論では時間も座標も同じ仲間であるという認識に立っています。つまり、従来は、現実の時間というのは、すべての座標系に対して絶対的かつ共通のものとして考えてきました。しかし、アインシュタインは、それは正確ではないんだ、時間はそれぞれの座標系に共通のものではなく、各座標系はそれぞれ”自分の時間”を持つのだ、というです。”同時刻”という意味は各座標系で異なっている、ということなのですね。このことは、物体の長さや時計の進み方が各座標系によって異なるという事情を生み出すことになります。この辺の事情を具体的に見て見ましょう。

ある事件(例えば花火を打ち上げた)が起こったとします。その事件がいつ・どこで起こったかを指定するために1つの座標系Kを考えます。そこで事件が起こった場所をx、事件の起こった時刻をx0とします。同じ事件を、ちょうど、車で通りかかったA氏が見たとき(※)、A氏は事件の起こった場所はx’、時刻はx0’だったといいました。両者の(x,x0)と(x',x0')の関係を計算すると
 x'=(x−βx0)÷γ、x0'=(x0−βx)÷γ、
 β=V÷c、γ=√(1−β^2) (但し、β^2はβの2乗でβ×βのことです)
となります。この式を見ると、A氏が言う場所x’はxと異なっていることが分かります。また、事件の発生時刻もx0と異なる時刻ということになります。つまり、同じ1つの事件でも車のA氏から見れば、事件は異なった場所、異なった時刻で起こったことなる訳で、”同時”ということが座標系によって異なるという、びっくりするような事情が出てきます。もっとも車の速度Vが光速度cに比べて非常に遅ければ、上の式からβ≒1となりますので、この結果x'=x、x0'=x0となり、普通日常生活で経験していることが成りたちます(←日常生活はほとんどこれですからご安心召されたい、、、)。

(※)車は座標系Kのxの正の方向に速度Vで走っており、両者の座標の原点が一致したときに両者の時計も一致していたとします・・・ややこしいですが絵を描いて考えてみてください)

◆整理すると
@時間はすべての座標系で絶対的かつ共通のものではない。各座標系はそれぞれ自分の時間を持つ。
A同時刻という意味は各座標系で異なる。


<ローレンツ収縮について>

さて、棒の長さというものは一体何なのかということを考えて見ましょう。
”長さ”というからにはある座標系で棒の両端を同時に測らなければなりません。棒の一端Aを時刻taで測り、一端Bを時刻tbに測って勝手にxb−xaを棒の長さだとしてもそれば棒の長さとは関係ないのです。同時刻ta=tb=tにおける量|xb−xa|を棒の長さと考えなければなりません。いま、棒がある座標系K’に対してxの正の方向に速さVで動いているとします(走っている車の中で棒の長さを測るというイメージ)。
動いている車の座標系をKとします。車の中でのxa、xbは車の外(K'座標系)ではダッシュをつけてxa'、xb'と観測されるとします。するとぞれぞれの関係は時刻をta=tb=t(同時刻)とすると、
  xa'=(xa−Vt)÷γ, xb'=(xb−Vt)÷γ
という関係式が得られます。γは上にでてきましたね。

さて、xb'とxa'の差が棒が静止している時の長さ(L0)で、車の中で測った棒の長さ(L)はxbとxaの差になります。
上の式を操作すると
  |xb−xa|=L=L0×√(1−β^2)
となりますが、この式をよくご覧になってください。ナント動いている棒の長さ(L)は静止している棒の長さL0より短くなっているではありませんか!! つまり、棒の長さは、車の外から走っている棒を見た場合、運動方向に縮まるのです。これをローレンツ収縮と呼んでいます。

また、時刻についても、車の中の時刻は車の外から眺めた場合、車の外の時刻より”ゆっくり進む”ことになります。つまり、座標系によって時計の刻み方が異なります。注意すべきは、このような現象は決して車に乗っている人が棒に圧力を加えたためとか、時計をわざと遅らせたためとかいうのではなく、完全に空間・時間の性質からきたものである、という点です。びっくりしますが、空間・時間の本質はこのようなものなのですね。

◆上の議論を整理すると
@走っている棒は短く収縮して見え、時計はゆっくりと進む。これをローレンツ収縮と呼ぶ。
Aローレンツ収縮は空間・時間の本質的な性質から生じる。


<特殊相対性理論のパラドックスについて>

さて、特殊相対性理論のレビューはいかがでしたでしょうか。サッパリ分からん場合は、読まれた方に責任があるのでなく、書いた方の力が足らないために理解が進まなかったといことですから、決して落胆はされないように。。。

いよいよご質問の長年の悩み解決に一歩近づいてきました。
ここでは今までの話の総括としてよく取りあげられる面白い話(パラドックス)を紹介しておきます。これは竹内薫 「アインシュタインとファインマンの理論を学ぶ本」工学社からの引用です。

アリスは止まっていて、ボブは速度Vで動いているとします。

【パラドックス1】・・・棒を持って車庫に突っ込む男:車庫に入る棒
長さ20メートルの棒を持った男(ボブ)が、光速の86.666・・・%で奥行き10メートルの車庫に突入する。ローレンツ収縮により棒は10メートルに縮んでいるから、棒は車庫にすっぽりと収まる。でもボブの立場では車庫が自分に向かってくるのであり、ローレンツ収縮により車庫は5メートルに縮んでいるので、棒は車庫には収まらない。う〜ん、何たる矛盾。

<解釈>
車庫と一緒に立っているアリスから見ると、動いている棒の両端を同時に図ると10mだから、棒はすっぽりと車庫に入る。しかし、走っているボブに固定された座標系から棒の長さを図ると20m、ボブに向かって動いてくる車庫は5mに縮んでいるため、棒の先端が車庫の奥の壁に当ったとき、棒の3/4は入りきらないで外にある、、、以下、本よりの引用。・・・大きさのある物体の長さを測るには、両端を「同時」に測る必要があるわけだが、その「同時」の意味は人によってちがう。20mの棒を持って走っているボブからすれば、アリスは棒の先端が車庫の奥の壁に当ったとき、そこにマーカで印をつけ、ゆっくりと車庫の入り口まで時間をかけて歩いていき、車庫の入口に棒の後端が到達したとき、そこに印をつけ、「はい、棒の長さは10mでした」と発言したように思われる。ボブは「アリスよ、お前は同時に棒の両端を測っていないじゃないか!」と言いたくなるだろう。でもアリスもボブも、自分達の「同時」の概念に従って正しく棒と車庫の長さを比較したのである。二人とも間違っていない。二人の立場は相対的なのだ。・・・

【パラドックス2】
・・・カサンドラクロス:落ちた鉄橋
長さ100メートルの電車が光速の30%で走っている。電車が鉄橋にさしかかった。鉄橋で見ていた人は、電車の最後尾が崖から離れた瞬間に、鉄橋が突風のため、100メートルの間隔で落ちてしまったのを目撃した。はたして、電車が谷底に真っ逆さまに落ちてしまうのであろうか。
ローレンツ収縮により、電車は縮んで95.4メートルの長さになっており、穴は100メートルなので落ちるものと思われる。だが、電車の立場では、縮んでいるのは鉄橋の穴のほうで、95.4メートルの長さなので、電車の先端は、すでにもう一方の崖に達しているから電車は落下しないですむ。またまた、なんたる矛盾!!

<解釈>

アリスの立場では、動いている電車の両端を同時に測ると95.4mなので、電車は100mの穴に確かに落ちる。一方、ボブの立場では、自分に対して止まっている電車の両端を同時に測ると100mのままだが、動いている鉄橋の穴は95.4mに縮む。電車の先端が鉄橋に95.4mの地点にさしかかったとき、電車の最後尾はまだ陸の上にあるが、既に鉄橋は落ちている。電車の先端は下に落ち始め、そのまま斜めになった谷底へ真っ逆さま。やはり、同時の概念の違いがポイントなのですね。

【パラドクス3】双子のパラドックス:猿の惑星
宇宙旅行から帰ってきたら、地球では何万年もの歳月が流れていて、人類は猿たちの家畜と化していた。
だが、相対性理論では、宇宙船で出かけた人も地球に残った人も立場は相対的なはず。宇宙旅行に出かけて帰ってきた人の時計が絶対的に遅れて歳をとらないのは相対論に矛盾する!

<解釈>
宇宙旅行に飛び出し、ある時点で軌道を地球に向けて戻ってきたとします。アリスは地球に残り、ボブは宇宙船に乗っって宇宙旅行にいったとします。本来は「アリスはボブの時計が遅れていると思うし、ボブは逆にアリスの時計が遅れていると思う」という相対的な状況となるはずですが、これが崩れて”ボブの時計が物理的に絶対的に遅れている”ことがこのパラドックスなのですね。
この秘密は、宇宙船の「折り返し点」に隠されているのです。つまり、折り返し点では宇宙船の速度が変化します。つまり折り返し点では一旦速度0となり、それから地球に向かって走りだすわけですが、このとき速度が変化しますので加速度がかかることになります。加速度がかかると、”時計は絶対的に遅れる”ことが一般相対性理論からでてきます。つまり、加速度のかかったボブの立場はもはやアリスと相対的ではなくなります。
ボブが自分の時計を見ている限り、折り返しは一瞬の出来事だが、ボブが遠く離れたアリスの時計を見ていると、なんと、折り返しの直前と直後とで、時計の針がピョンと飛ぶように見える。一気に時計が進んでしまう。これがボブの時計が遅れる原因である。


<時間差の謎:パートZ>

          
◆◆◆◆◆ご質問に対する回答◆◆◆◆◆◆

さぁ、いよいよご質問に対する回答をしてまいりましょう。ご質問は上の双子のパラドックスと同類です。ご質問のエッセンスは「宇宙船に乗って宇宙へ出て行った人が帰って来る時、帰ってきた地球では、宇宙より時間が遅く流れていて、宇宙で過ごしたはずの時間よりまだ昔の時を生きているのは理解できない」ということですね。そこで次のようなシナリオを立ててこの問題を考えることにします。

<シナリオ>
40歳のある科学者が18歳の少女に恋をした。独身の彼は結婚を望んだが、年齢の差が彼女へのプロポーズを躊躇させた。そこで彼は高性能ロケットに乗って宇宙旅行にでかけることにした(無論科学者には後で述べるように、年齢差に対することへの成算が十分あった)。ロケットは光速度の99%の猛スピードの等速度で飛び出し、やがて地球から10光年離れた星の近くまで行くと、そこでロケットは急激にUターンし、再び光速度の99%の速さで地球に引き返し、地球に帰還した。ここで科学者と少女は再会するが、二人の年齢はどうなっているか。。。じつは科学者は43歳で少女はナント38歳となっているのです。

<解釈>
◆地球上の彼女の立場

ロケットが10光年先の星に着くまでには、彼女の時計では10÷0.99=10.1年、つまり10年と36日半かかることになります。Uターンは瞬時に行われるから、その間だには彼女の時計はほとんど進行しません。かえりは行きと同じく、彼女の時計は10年と36日半経過します。だから、ロケットが機関した時、彼女の時計では20年と73日経過したことになり、18歳でロケットを送り出した彼女は既に38歳の年齢に達していることになります。
彼女から見た科学者はどうなっているかというと、速く走っている相手方の時間の経過は非常にのろく、彼女の見た科学者の時計は非常にゆっくりと時を刻んでいることになります。往路でも帰路でも光速の99%の早さですから、計算すると彼女の時計の進み方よりも約1割4分ほどしか進まないことになります。ロケットの帰還までに彼女は20.2年の年をとりますが、科学者はその1割4分ほど、すなわち20.2×0.14=2.85で2.85年しか年をとっていないことになります。つまり40歳の科学者はほぼ43歳で、2人の年齢の差は5年ほどに縮まってしまったことになります。

<時間差の謎:パート[>
◆ロケット内の科学者に立場

以上は地球に残った彼女の立場からしか考えていませんでしたが、ロケット内の科学者の見た自分の時計と彼が見た地球上の時計について考えて見ましょう。かれの立場からすれば地球と星との距離は決して10光年ではありません。光速に近い非常なスピードで走っているから、ローレンツ収縮により距離は縮みます。その結果、地球と星との距離は1.41光年となります。往復で2.82光年ですね。これをロケットの速さ(光速の99%)で割ると2.82÷0.99=2.85、つまり2.85年となる、出発から帰還まで科学者自身が自分の時計を見ていると2.85年経過し、40歳の彼は43歳ほどで帰還することになります。これは地球上の人が観測したかれの年齢と全く一致します。

ところで、科学者が地球上の時計を見ると、地球はロケットに対して光速の99%の速さで走っていることになりますから、科学者の時計よりも1割4分の速さで時を刻むことになります。科学者の時計は、自分でみて往復合わせて2.85年ですから、この間に科学者の見た地球の時計の進み具合は2.85×0.14=0.4年しか経たない。だから、地球の彼女は帰還時にはやはり18歳である・・・としてはいけないのである!!これでは矛盾になってしまいます。どこがおかしいのかということは双子のパラドックスで指摘したようにロケットのUターンが曲者だったのです。Uターンするときに、科学者から見た地球上の時計はものすごく時間が経過します。Uターンする間に科学者の時計はほとんど進行しませんが、地球上の時計は計算すると19.8年も経過してしまいます。だから、地球上の人間の年の取り方をロケット内に人が見ていたら、往路で0.2年、Uターンの時19.8年、帰路で0.2年、合計20.2年となり、地球上の人が自分の時計を見ていた場合とピタリ一致します。

一般相対性理論を認めると、もっと遠い星まで旅行してくれば、地球上では50年も100年も時間が経過しているということも考えられます。帰還した旅行者が自分の子供よりも、孫よりも若いということも起こり得ます。

ところで、何か釈然としないものが残りますね。それはなぜ地球系とロケット系とで不平等でなければならないのか。ロケットも地球も宇宙に浮かんでいる物体であることは変わりない。ロケットが往復運動したのではなく、ロケットは止まっていて地球の方が行ってきたとしても全く同じではないか。そう考えると地球人だけが年をとる理由は全然ないではないか、という反論です。こうなると、一般相対性理論の正誤は実験の判定を待つしかないのですが、精密な実験の結果、一般相対性理論の正しさが確認されています。これは時空間のもつ不思議な性質なのですね。深く考えると、頭が錯乱してきますが、、、、
兎も角、ロケットの科学者と地球で待つ彼女は年齢差5歳に縮まり、めでたくご結婚されるのでしょうね(先のことは科学でも分かりません。。。)ということで、この小文を終わることにします。お疲れさまでした。

by KENZOU
2004.01.31
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