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　○更新：　２０２３．０５．１０ 　ラプラス変換による振動の解析


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構造力学･談話 Ver.２（全１０話）　（２０１８．０５．１２）
構造力学談話Ver.2 を公開します。暖かくなりはじめた今年3月の下旬あたり，次第に冬眠から目覚め，ぼんやりと机に向かう
頻度が増えはじめた。すると，少し気がかりにしていた構造力学談話のレポートを見直そうかという気が起こってきた。小生の
理解不足による不明瞭な箇所や，少し冗長すぎて話がくどくなったところなど，この際スッキリしようと全話を見直して加筆・
修正を繰り返し，最後に第１０話「不静定構造物」を追加して仕上がったのがVer2 という次第。もっとも話の展開がスッキリ・
明瞭（？）になったといっても，それはあくまで筆者の思い込みで，おかしな議論や不明瞭な点がなくなったとは言い切れない
（面倒くさくなって多少手を抜いたところもある）。もし，そのような箇所を見つけられたら，ご自分で乗り越えられるか，お
手数でも一報いただけるとありがたい。場合によってはVer3 が登場するかもしれない。。。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一括ファイル：全１０話　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　●第１話　平面構造物の釣り合い（１）
　　　　片持ち梁の反力と断面力（応力，曲げモーメント，軸方向力）の計算。仮想切断という考え方が登場します。　

　●第２話　平面構造物の釣り合い（２）
　　　　単純梁の反力と断面力の計算。応力や曲げモーメントの分布を図解で求めるやり方も紹介しています。

　●第３話　平面構造物の釣り合い（３）
　　　　ラーメン構造の反力と断面力の計算。仮想切断という考え方を使って求めます。

　●第４話　平面構造物の釣り合い（４）
　　　　トラス構造の反力と断面力の計算。節点法と切断法という２つの方法の紹介と具体的な計算を行っています。

　●第５話　構造物の安定。不安定
　　　　構造物の安定・不安定に関する判別式を紹介しています。

　●第６話　構造物の変形（１）
　　　　荷重がかかると構造物はたわみます。第6話では単純ばりやラーメン構造物のたわみとたわみ角を仮想仕事法
　　　　という方法を使って計算しています。

　●第７話　構造物の変形（２）
　　　　はりのたわみを弾性曲線方程式から求める方法とモールの定理を使った方法で計算しています。

　●第８話　はりの曲げ応力と断面係数・せん断応力
　　　　断面１次・２次モーメント，断面係数と曲げによるせん断応力などの計算を行っています。材料力学的な観点が中心。

　●第９話　構造物の変形（３）
　　　　弾性変形からカステリアーノの定理までのお話です。

　●第１０話　不静定構造物
　　　　１次不静定構造物の反力・断面力とたわみを求める計算を行なっています。





Kepler運動 ver.2　　　　（２０２１．０８．０６）　　　　　　　TOP
Kelper運動と題していますが，中身は目次に示すように中心力による運動を扱っています。Ver2では§４を追記。
§１．中心力の運動と定常運動
　・中心力場における質点の運動方程式
　　中心力場における定常運動
§２．運動の軌道
　・有効ポテンシャルから見た運動の定性的な振る舞い
　　１）中心力が逆２乗の法則に従う引力の場合
　　２）中心力が中心からの距離に比例する引力の場合
　　３）中心力が逆３乗，逆４乗の法則に従う引力の場合
§３．Kelper運動
　・逆２乗の引力が働く運動の軌道
　　Kepler方程式と近似解
　　ルンゲ・レンツのベクトル
　・逆２乗＋逆３乗の引力が働く場合の運動の軌跡
　　近日点移動
§４.逆2乗則の引力による楕円軌道運動について
　■公転速度と公転周期
　■動径の時間平均と軌道平均速度
　■軌道速度の変化による軌道の遷移
　■引力中心の質量微小変化による軌道の遷移
　■地表で水平に投射された衛星の描く軌道
　■人工衛星の運行



質点系と剛体の運動方程式 　　（２０１０．０１..０６）　　　TOP
・質点系と剛体の運動方程式についてのレポート。
　　１．運動の自由度
　　２．質点系の運動方程式
　　３．剛体系の運動方程式



ラプラス変換による振動の解析　（２０２３．０５．１０）　　　TOP

ここ２，３日風邪気味で少しけだるく，なにをやるにも億劫（おっくう）な気分でいけません。温かいと思って油断するとあぶないで
すね。皆様もくれぐれもご注意を召されたい。

さて，ラプラス変換による振動解析のレポートをアップします。ラプラス変換を使えば微分方程式が代数方程式になるので，解を
楽に求める事ができる（？）というメリットがあります。この辺の事情を対話形式で取りまとめてみました。気楽に読みすすめる事が
できると思います。

＜目次＞
§１．ラプラス変換
§２．ラプラス変換の性質
§３．ラプラス逆変換
§４．振動系の解析
　４−１．１自由度力学系の振動
　４−２．２自由度力学系の振動
　４−３．無限自由度系
付録




連成振動・弦から膜の振動まで　　（２０２１．０９．１２）　　　　TOP
子供の頃，お祭りの日には実家の近くの神社で太鼓を叩いて遊んでいたりしましたが，その影響もあってか太鼓の振動には
以前から興味がありました。とはいうものの突っ込んで勉強してみようかなという気には不思議とならず，複雑な数式を
チラッと眺めるだけでサッと素通りといった調子でした。
あるとき，何がきっかけか失念しましたが，連成振動から弦の振動，さらに膜の振動という道筋でトライしてみようか。。。
という気になり，ポツポツと取り組んで仕上がったのが本レポートという次第です。数学的な取り扱いも弦から膜へと進むに
つれて少し高度になってきますが，それに必要な知識や事柄は補足で充足したつもりですので，素手で最初から読み進められ
てもあまり抵抗は感じられないのではないか？と勝手に思ったりしています。
いずれにしても，当方の知識不足による議論の誤りやおかしな点など，一応精査したつもりですが十分ではないので，それらの
点をご指摘をいただけると有り難いです。

＜目次＞
§１．弦に取りつけた質点の振動（連成振動）
　・質点が２個のケース
　・質点が３個のケース
　・質点がＮ個のケース
　・質点がＮ→∞のケース
§２．弦の振動
　・１次元波動方程式
　・１次元波動方程式を解く
§３．膜の振動
　・方形膜の振動
　・円形膜の振動
§４．補足のコーナー
　・３項間漸化式を解く
　・三重対角行列
　・ベッセルの微分方程式の解
　・Fourier-Bessel展開



対話・非線形振動（全５回） 　　TOP
１．対話・非線形振動（その１）　　[２００８．０９．２８]
　　（１）単振動とエネルギー保存則・・・単振動と等時性，エネルギー保存則，任意のポテンシャルの下での微小振動
　　（２）周期とエネルギーの関係
　　（３）サイクロイド振子
　　（４）非線形振動・・・振幅の大きい振り子，非線形のバネ，摂動計算
　　
２．対話・非線形振動（その２）　　[２００８．１０．１１／２０１２．０３．０８（更新）]
　　（１）速さの2乗に比例した抵抗が作用する場合の振動・・・数値解，摂動計算による近似解
　　　　　→摂動計算のミスと誤植を修正　(2012.3.8)：Thank's　冷泉院さん。
　　（２）一定の摩擦力が作用する場合の振動

３．対話・非線形振動（その３）　　[２００８．１０．１８]
　　（１）自励振動･･･スティック・スリップ，ファン・デル・ポールの方程式，ファン・デル・ポール方程式の近似解
　　　（２）おまけ−１：多くの単振動の合成とフーリエ級数
　　　　　おまけ−２：相平面

４．対話・非線形振動（その４）　　[２００８．１０．１８]
　　（１）取り扱った非線形振動方程式
　　　　　　　　・・・振幅の大きな振り子，ダフィング方程式，速さの２乗に比例した抵抗，ファン・デル・ポール
　　（２）多時間尺度近似の有効性
　　　　　　　　・・・減衰振動の摂動展開とその破碇，ランダウの記号，減衰振動摂動展開破碇の原因
　　（３）多時間尺度法による減衰振動の解析
　　（４）非線形バネ（ダフィング方程式）の多時間尺度法近似

５．対話・非線形振動（その５・番外編）　　　[２００８．１０．２５]
　　（１）非同次線形微分方程式の解法（定数変化法）
　　（２）平均法による近似解法（Krylov-Bogoliubovの方法）・・・自由振動の近似解，ダフィング方程式の近似解
　　（３）パラメーター励起振動・・・糸の長さが周期的に変化，振り子の支点が上下に変化，マシュー方程式の平均法による近似解