積分定理 −GSG−         2017.5.02  

 
グリーンの定理(G),ストークスの定理(S),ガウスの定理(G)といったいわゆる積分3定理についてのお話です。
これらの定理は物理のいたるところでお目にかかると思いますが,サッと通過するだけでなかなかじっくりと勉強しないのではないでしょうか。。。(あくまで小生の経験ですが)。
 前作「駆け足で眺める複素積分」でコーシーの積分定理の証明をスルーしましたが,グリーンの定理を使えばいとも簡単に証明できるのですね。このスルーしたことがきっかけで本レポートをまとめる気になりました。全3話構成です。
 
 第1話:平面におけるグリーンの定理
 第2話:ストークスの定理
 第3話:ガウスの定理



駆け足で眺める複素積分       2017.4.14  

 複素積分はどうも苦手だというあなた,ご一緒に複素積分山に登って山頂からの見晴らしを堪能しませんか?
山登りには必要最小限の装備が必要ですが,それらの装備も必要に応じて準備していけばいいでしょう。
 本レポートは全3話から構成され,第1,2話は装備を身につけつつ山頂を目指しての山登りで,第3話で山頂に到るという行程です。途中で石ころにつまづいても平気平気,気にせずにマイペースでゆっくりと登っていきましょう。

 第1話:微分・積分からコーシーの定理まで
 第2話:テイラー展開・ローラン展開と留数定理
 第3話:留数定理の定積分への応用





Laplace変換小話       2013.08.11 付録追記  
                            2013.07.30
   

  電気工学や自動制御分野のテキストを見るとラプラス変換が縦横に使われていますね。ラプラス変換はそれらの分野の攻略のためにあるような錯覚を抱きやすい(←小生だけかも?)ですが,特にそのようなことはありません。例えば統計力学の分野ではカノニカルアンサンブルの導入の際にラプラス変換をつかったりします(分配関数は状態密度のラプラス変換で与えられる)。いずれにしても,ラプラス変換の知識は持っていて決して損ではないということになります。ということで,数学的な難しい議論は完全に省いてラプラス変換の小話をまとめてみました。ご興味のある方は一読してください。

●目次
  1.Laplace変換とは
    1.1 積分変換
  2.Laplace変換
    2.1 因果関数
    2.2 初等関数のラプラス変換
    2.3 ラプラス変換の性質
    2.4 畳み込み積分とそのラプラス変換
    2.5 その他代表的な関数のラプラス変換
  3.逆ラプラス変換
    3.1 有理関数の逆ラプラす変換
    3.2 畳み込み積分の逆ラプラス変換
  4.微分方程式の解法への応用
    4.1 定数係数線形微分方程式
    4.2 変数係数線形微分方程式
    4.3 線形偏微分方程式
 付録
    1.ラプラス変換の存在と収束座標について
    2.ラプラス変換とフーリエ変換について
    




変分法談義(全5話)        
 2013.1.18

 
以前の「変分法小考」のレポートを拡充したものです。全5話で構成しました。いつものように誤字・脱字はいうまでもなく、おかしな議論や??と思われる箇所があるかもしれません。DIY(Do It Yourself)の精神で修正していただければと思います。また、お気軽にメールでご教示いただければ幸いに思います。


●表紙と目次詳細                             ※ 全5話一括pdf

第1話 変分法の基礎理論

第2話 オイラー・ラグランジュの方程式

第3話 ラグランジュの未定乗数法

第4話 直接法

第5話 変分法の応用例




テンソル談義(全6話)         2012.10.30
                                 2012.11.20 Appendix追記

 
2006.6.23のUP以来6年ぶりで「テンソル談義」を全面更新しました。完結編で,全6話に分割しました。

 テンソルはベクトルに比べて抽象的なため敬遠されがちですが,相対論はもちろん,弾性論や流体力学,電磁気学等々,いたる所で登場します。テンソルの概略程度の知識さえ持っておけばやり過ごせないこともないですが,ちょっと深みに入ろうとするとどうしてもある程度知識が必要になってくると思います。

 本レポートは数学的な厳密性は横に置き,テンソルの直感的な把握を軸として話を進め,途中の計算は省略することなく詳細にフォローしていますので,あまり障壁を感じずに(?)テンソルに親しめるのではないか。。。と,えらそうな事を言っていますが,おかしな議論をしているところや,誤字・脱字等々があるかもしれません(←逐次校正はしたが,全体を通しての校正は面倒になったのでやっていない)。そのような箇所はご自分で正していただくか,メールにでもご連絡いただければこちらの勉強にもなります。

 各話は単独のPDFで纏めてアップしています。また,全話一括のPDFも載せておきました。内容の詳細については「目次」を参照ください。

                                         
● 目次詳細
                                          ※ 全6話一括pdf
第1話 テンソルとは何だ
  1.1 テンソルとは何だ

第2話 テンソルの定義とその種類
  2.1 多重線形形式によるテンソルの定義
  2.2 テンソルの演算
  2.3 対称・反対称テンソル
  
第3話 テンソルを座標変換すると
  3.1 座標変換とテンソル
  3.2 等方テンソル

第4話 テンソル2次曲面とテンソル場
  4.1 テンソル2次曲面
  4.2 テンソル場
 
第5話 斜交座標とテンソル
  5.1 斜交座標
  5.2 2階テンソルの座標変換
  

第6話 曲線座標とテンソル
  6.1 曲線座標
  6.2 ベクトル場・テンソル場・スカラー場
  6.3 計量テンソル
  6.4 共変微分
  6.5 発散と回転
  6.6 曲率テンソル
  6.7 直交曲線座標

●Appendix
  A.1 共変微分について
  A.2 測地線
  A.3 曲率テンソルの物理的意味




曲面と曲線(続・余談) 
「2012.01.19」
 
 ・平面曲線の大域的な性質(平面曲線の定理,自然方程式,回転数,4頂点定理など)を対話形式でまとめています。

曲面と曲線(余談)  [
2012.01.04]
  
・曲面に関する話題など,対話形式でのお話です。
   
2012.01.07 [更新] クリストッフェル記号を使ったガウスの方程式を追記しました。

続・曲面と曲線  [
2011.12.03]
  
・前回の続きとなる続編で,微分形式を使った曲面論と測地線のお話です。
   
→2011.12.17 例題追加 

曲線と曲面
 [2011.10.20]
 
 ・平面上の曲線,空間曲線から曲面までそれらを特長づける曲率や曲率半径など,基本的な概念の分かりやすい説明をしています。
   →2011.11.23 一部改定・修正

多変量解析  
[2009.7.01] 
 

 ・多変量解析入門のレポートです。昔,大学に入学したての頃,一瀬正巳著「誤差論」を買って読んだのはいいのですが,第2章の最小二乗法のところで沈没した経験があります。そのような暗礁を乗り越え,多変量解析に親しみがもてるようにまとめています。まだ完成バージョンではありませんが,一応ここにアップしておきます。
 →話題は「回帰分析」「主成分分析」「因子分析」までです。
【おまけ】固有値の計算.xsl ・・・エクセルのマクロで対称行列の固有値・固有ベクトルを求めます。

やさしい連立微分方程式
 [2008.11.08]
 
 ・線形代数の知識を使って連立微分方程式を解きます。指数行列など。余禄に1階常微分方程式のベルヌイ,リッカチ,クレーロー,ラグランジュ型を載せました。

等角写像と流体力学への応用例 [2008.07.13]
  ・等角写像のお話と流体力学への応用例です。

分岐点とリーマン面 [2008.07.06]
 
 ・「複素平面上でのn価関数はn葉のリーマン面上では1価関数とみなせる」という言葉の意味がわかるようになります。

解析接続 [2008.07.05]
  ・解析接続のわかりやすい解説がなかなか見当たらなかったので,対話形式でまとめてみました。もっともこの小稿を読んで分かるという保証はありませんが(^^)。

ポテンシャル [2008.06.30]
  ・対話形式でいろいろなポテンシャル場の計算をやっています。

テンソル談議 [2006.06.23] 
 2012.10.30 全面更新・完結
 
・対話でテンソル談議を進めています。対称テンソル,反対称テンソルあたりで中断しています。その内再開予定。

ルベーグ積分への遥かなる道程(1) [2006.06.23]
 
 ・対話形式で進めています。まだ道3分あたりでとまっています。その内再開する予定です。

Strum-Liouville方程式とGreen関数(2) [2006.06.23]
  ・常微分方程式(Strum-Liouville Eq)の各種境界条件(ディレクレ条件,ノイマン条件,ロバン条件)での解き方を扱っています。

対話・グリーン関数(1) [2006.03.25]
  ・グリーン関数の物理的意味とヘルムホルツ型方程式のGreen関数,波動方程式のGrenn関数を取り扱っています。上のStrum-Liouville(2)と対になっています。

対話・ローラン展開と留数・主値積分 [2006.03.04]
  ・複素関数論でのローラン展開は一つの山場と思いますが,これはローラン展開の分かりやすい解説と演習問題を多く載せました。留数計算と主値積分の説明。

ロジスティック曲線 [2005.02.13]
  ・生物の自然増加現象の説明にロジスティック曲線が使われますが,ここでは米国の1790年から1930年までの人口増加がロジステイック方程式での予測に合致していることを紹介しています。

対話・線積分 [2004.10.06]
  ・初めて線積分を習ったとき,なかなかイメージが掴みにくいと思います。ここでは対話形式で初心の時に感じる障壁を低くし,線積分に親しめるように心がけました。

ベクトルのスケッチ [2004.01.09]
  ・ベクトル演算の公式をまとめました。

変分法小考 [2003.11.01]
  ・解析力学でまず最初に出てくるのは変分法ですが,変分法の物理的意味を中心にまとめました。

Fourier変換あれこれ [2001.09]
  ・波動方程式のフーリエ変換とかKramaers-Kronigの分散関係式を導出しています。

複素関数論入門(3) [2001.09]
  ・複素関数論の入門です。留数定理やローラン展開等の話は
「対話・ローラン展開と留数・主値積分」を参照ください。

複素関数論入門(2) [2001.09]
  ・複素関数論の入門です。留数定理やローラン展開等の話は
「対話・ローラン展開と留数・主値積分」を参照ください。

複素関数論入門(1) [2001.09]
  ・複素関数論の入門です。留数定理やローラン展開等の話は「対話・ローラン展開と留数・主値積分」を参照ください。



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