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主軸変換・談話 2022.02.26 
2次曲線の主軸変換・超入門といった内容で，2回の談話形式でまとめています。数学的な側面は完全にスルーして，
技術的・実用的な内容となっています。
主軸変換談話・その１
１．主軸変換とは
２．主軸変換をやってみる
３．二次曲線の種類を見極める
主軸変換談話・その２
４．二次曲線の行列表示
５．行列表示と主軸変換
６．行列表示を使った２次曲線の標準化
四元数談話 2020.10.16
四元数（しげんすう）という言葉にはどことなく幻惑的な響きを感じたりしますが，なんだそれはという
興味が起こります。遅ればせながら私が四元数なる言葉を知ったのは藤原正彦（著）「天才の栄光と挫折」
という本で，天才ハミルトンの一代記が書かれていて大変面白かった。若き時代のハミルトンは熱烈な恋愛
と失恋を経験したり人間的にいろいろな苦悩にも立ち向かっていったようです。言うまでもなく四元数は
ハミルトンが発見したもので，約10年余りの苦闘と思索の時が流れたとのことです。天才ハミルトンが生み
出した四元数ですからさぞ難解なものかと思ったりしますが，歴史を経てそのエッセンスだけがスッキリ整
理されていますので，四元数の世界とはなんぞやと飛び込んでみるのも面白いと思います。
かくいう私も長い間矢野忠（著）「四元数の発見」を積ん読状態にしていたのですが，ふと学んでみようか
なとその気になり，ホコリを払って読み始めたのでした。
本レポートはその勉強の結果を談話風にまとめたもので，この方面に興味のある方に少しは参考になるかな
と思い，アップすることにしました。浅学のため思い違いや間違いなどがあるかも知れません。それらはご
自分で乗リ超えていただくか，掲示板にでも記載していただければ，こちらの勉強にもなります。それでは
よろしく。
§１． 複素数と２次元平面の回転
§２．三元数は存在するか?
§３．四元数の代数
§４．四元数による空間回転
§５．四元数による鏡映変換
§６．SU(2)と四元数
§７．四元数の極形式
§８．球面線形補間
Excel VBAを使った数値解析 2020.07.30
前回の「Excelを使った数値計算」に引き続き，今回は「Excel VBAを使った数値解析」をアップします。
VBAはエクセルに作業をさせる指示言語（マクロ言語）としてExcelに標準装備されていますが，喰わず嫌
いということもあってか（←小生の場合），他の理由もあってか，なかなかVBAを使ってみようという気に
はならないのではないでしょうか。私はプログラミング（N88Basic,Assembler,Pascal,Delphi）の経験は
多少あるもののVBAを使うのは今回が初めてで，Dim a As Singleという宣言文には正直吃驚しました。
Dimは配列宣言ではなかったか。。。？いずれにしても，プログラム言語には固有の方言があるので使って
慣れるしかないですね。ということで，付録に参考文献をあげておきましたが，お節介ながら，ご自分が気
に入られた本や資料等で一通りの知識をGetし，あとはプログラムを書きながら忘れた点は本や資料を読み
返して補強し，とそういうことを繰り返していけばいいのではと思います。
本レポートの内容は下記の通りです。
エクセル実行ファイルをDwnLDして実行してください。尚，ファイルオープンしたとき，マクロを有効にし
ておいてください。そうしないとエクセルは何もしてくれません。VBAのソースコードはリボンの「開発」→
「Visual Basic」で表示されますので，オブジェクトエクスプローラーから目的のソースを選択表示してくだ
さい。シート上に「Calc」と「Erase]のボタンがあります。最初に「Calc」ボタンを押すと計算結果が出てき
ます。「Erase」を押すと計算結果が消去されます。
ソースコードは自由に書き換えていただいて構いません（←BackUpはとっておいた方がよい）。ご自分なりの
プログラムを作ることに挑戦してみてはいかがでしょうか。それではお楽しみください。
１．ニュートン・ラプソン法 NR法.xlsm
1-1．1変数の場合
1-2．2変数の場合
1-3．2変数の場合
２．常微分方程式の数値解法
2-1．1階常微分方程式のオイラー法 Euler法.xlsm
2-1-1．修正オイラー法
補足：ホイン法
2-2．2階常微分方程式のオイラー法
2-2-1．2階常微分方程式・修正オイラー法
2-3．ルンゲ・クッタ法 RK法.xlsm
2-3-1．1階常微分方程式
2-3-2．2階常微分方程式
ファン・デル・ポールの方程式
ロトカ・ヴォルテラ方程式
2-3-3．3階常微分方程式
３．偏微分方程式の数値解法 PDeq.xlsm
3-1．差分法
3-2．偏微分方程式の分類と無次元化
3-3．放物型偏微分方程式の数値計算
3-4．双曲型偏微分方程式の数値計算
3-5．楕円形偏微分方程式の数値計算
４．数値積分法 Gauss.xlsm
4-1．台形公式
4-2．シンプソン法
4-3．ガウス法
５．付録 GaussSeidel.xlsm
A．ガウス・ザイデル法
B．ラグランジュの補間公式
Excelを使った数値解析 2020.05.25
表計算ソフトExcelは大抵のパソコンに標準装備されていますね。私もサラリーマン時代は表計算やグラフ作図用
に大いに活用していました。しかしその必要もなくなってくるとご多分に漏れずExcelの使い方そのものを忘れだ
すという始末。。。
Excelで数値計算ができることは知っていましたが，そんなことはMathematicaや国産のカルキング，更にはフリー
の数値計算ソフトなどを使えば一発でできるということで特に興味が湧かなかったのですが，あることがきっかけで
”気”は反転，Excelでどこまでできるのかやってみよかという気になり，その結果仕上がったのが本稿という次第です。
この手の本をみると大抵マクロやＶＢＡが使われていますが，本稿では一切使っていません。マクロやＶＢＡが苦手
な方も楽しんで読んでいただけるのではないかと思います。
数値解析といっても数学的な誤差論は殆どスルー。簡単な四則演算だけでことは済みます。ただ，エクセルの基本機能
である「メニューバー」→「編集」→「フィル」→「連続データの作成」とか，セル右下の黒い四角「ファイルハンド
ル」等の機能は知っておくと入力の手間が省けて大変便利ですので，是非その知識は仕入れておいてください。ややこ
しい微分方程式を四則演算で表計算し，そのデータを選択して解のグラフ（散布図）を描いたとき，Oh!といった爽快
感が味わえる思いますので，ぜひお試しください。ということで本稿は以下に示すように4話の構成となっています。
＜目次＞ Excel実行ファイルはココ
第1話：ニュートン・ラプソン法
・1変数の場合
・2変数の場合
・3変数の場合
第2話：常微分方程式の数値解法
・オイラー法
A.1階常微分方程式
B.2階常微分方程式
・ルンゲクッタ法
A.1階常微分方程式
B.2階常微分方程式
第3話：2階線形偏微分方程式の数値解法
・1次元熱伝導方程式
・1次元波動方程式
第4話：数値積分法
・台形法
・シンプソン法
・ガウス法 （←追記：2020.06.01）
・ロンベルグ法
積分定理 −ＧＳＧ− 2017.05.02
グリーンの定理（Ｇ），ストークスの定理（Ｓ），ガウスの定理（Ｇ）といったいわゆる積分3定理について
のお話です。
これらの定理は物理のいたるところでお目にかかると思いますが，サッと通過するだけでなかなかじっくりと
勉強しないのではないでしょうか。。。（あくまで小生の経験ですが）。
前作「駆け足で眺める複素積分」でコーシーの積分定理の証明をスルーしましたが，グリーンの定理を使えば
いとも簡単に証明できるのですね。このスルーしたことがきっかけで本レポートをまとめる気になりました。
全3話構成です。
第１話：平面におけるグリーンの定理
第２話：ストークスの定理
第３話：ガウスの定理
駆け足で眺める複素積分 2017.04.14
複素積分はどうも苦手だというあなた，ご一緒に複素積分山に登って山頂からの
見晴らしを堪能しませんか？ 山登りには必要最小限の装備が必要ですが，それ
らの装備も必要に応じて準備していけばいいでしょう。
本レポートは全３話から構成され，第１，２話は装備を身につけつつ山頂を目指
しての山登りで，第３話で山頂に到るという
行程です。途中で石ころにつまづいても平気平気，気にせずにマイペースでゆっ
くりと登っていきましょう。
＜目次＞
第1話：微分・積分からコーシーの定理まで
第2話：テイラー展開・ローラン展開と留数定理
第3話：留数定理の定積分への応用
Ｌａｐｌａｃｅ変換小話 2013.07.30
電気工学や自動制御分野のテキストを見るとラプラス変換が縦横に使われていますね。
ラプラス変換はそれらの分野の攻略のためにあるような錯覚を抱きやすい（←小生だけ
かも？）ですが，特にそのようなことはありません。例えば統計力学の分野ではカノニ
カルアンサンブルの導入の際にラプラス変換をつかったりします（分配関数は状態密度
のラプラス変換で与えられる）。いずれにしても，ラプラス変換の知識は持っていて決
して損ではないということになります。ということで，数学的な難しい議論は完全に省
いてラプラス変換の小話をまとめてみました。ご興味のある方は一読してください。
１．Laplace変換とは
１．１ 積分変換
２．Laplace変換
２．１ 因果関数
２．２ 初等関数のラプラス変換
２．３ ラプラス変換の性質
２．４ 畳み込み積分とそのラプラス変換
２．５ その他代表的な関数のラプラス変換
３．逆ラプラス変換
３．１ 有理関数の逆ラプラす変換
３．２ 畳み込み積分の逆ラプラス変換
４．微分方程式の解法への応用
４．１ 定数係数線形微分方程式
４．２ 変数係数線形微分方程式
４．３ 線形偏微分方程式
・付録 １．ラプラス変換の存在と収束座標について
２．ラプラス変換とフーリエ変換について
変分法談義（全５話） 2013.01.18
以前の「変分法小考」のレポートを拡充したものです。全５話で構成しました。
いつものように誤字・脱字はいうまでもなく、おかしな議論や？？と思われる
箇所があるかもしれません。DIYの精神で修正していただければと思います。
また、お気軽にメールでご教示いただければ幸いに思います。
表紙と目次詳細
第１話 変分法の基礎理論
第２話 オイラー・ラグランジュの方程式
第３話 ラグランジュの未定乗数法
第４話 直接法
第５話 変分法の応用例
テンソル談義（全６話） 2012.10.30
２００６．６．２３のUP以来６年ぶりで「テンソル談義」を全面更新しました。完結編で，全６話
に分割しました。
テンソルはベクトルに比べて抽象的なため敬遠されがちですが，相対論はもちろん弾性論や流体力学，
電磁気学等々，いたる所で登場します。テンソルの概略程度の知識さえ持っておけばやり過ごせない
こともないですが，ちょっと深みに入ろうとするとどうしてもある程度知識が必要になってくると思
います。
本レポートは数学的な厳密性は横に置き，テンソルの直感的な把握を軸として話を進め，途中の計算
は省略することなく詳細にフォローしていますので，あまり障壁を感じずに（？）テンソルに親しめ
るのではないか。。。と，えらそうな事を言っていますが，おかしな議論をしているところや，誤字・
脱字等々があるかもしれません（←逐次校正はしたが，全体を通しての校正は面倒になったのでやっ
ていない）。そのような箇所はご自分で正していただくか，メールにでもご連絡いただければこちら
の勉強にもなります。各話は単独のPDFで纏めてアップしています。また，全話一括のPDFも載せて
おきました。内容の詳細については「目次」を参照ください。
●目次詳細
第１話 テンソルとは何だ
１．１ テンソルとは何だ
第２話 テンソルの定義とその種類
２．１ 多重線形形式によるテンソルの定義
２．２ テンソルの演算
２．３ 対称・反対称テンソル
第３話 テンソルを座標変換すると
３・１ 座標変換とテンソル
３．２ 等方テンソル
第４話 テンソル２次曲面とテンソル場
４．１ テンソル２次曲面
４．２ テンソル場
第５話 斜交座標とテンソル
５．１ 斜交座標
５．２ ２階テンソルの座標変換
第６話 曲線座標とテンソル
６．１ 曲線座標
６．２ ベクトル場・テンソル場・スカラー場
６．３ 計量テンソル
６．４ 共変微分
６．５ 発散と回転
６．６ 曲率テンソル
６．７ 直交曲線座標
●Appendix
A.1 共変微分について
A.2 測地線
A.3 曲率テンソルの物理的意味
曲面と曲線（続・余談） 「２０１２．０１．１９」
・平面曲線の大域的な性質（平面曲線の定理，自然方程式，回転数，４頂点定理など）を対話形式で
まとめています。
曲面と曲線（余談） ［２０１２．０１．０４］
・曲面に関する話題など，対話形式でのお話です。
続・曲面と曲線 ［２０１１．１２．０３］
・前回の続きとなる続編で，微分形式を使った曲面論と測地線のお話です。
曲線と曲面 [２０１１．１０．２０]
・平面上の曲線，空間曲線から曲面までそれらを特長づける曲率や曲率半径など，基本的な概念の
分かり やすい説明をしています。
多変量解析 [２００９．7．０１]
・多変量解析入門のレポートです。昔，大学に入学したての頃，一瀬正巳著「誤差論」を買って読んだの
はいいのですが，第２章の最小二乗法のところで沈没した経験があります。そのような暗礁を乗り越え，
多変量解析に親しみがもてるようにまとめています。
【おまけ】固有値の計算.xsl ・・・エクセルのマクロで対称行列の固有値・固有ベクトルを求めます。
やさしい連立微分方程式 [２００８．１１．０８]
・線形代数の知識を使って連立微分方程式を解きます。指数行列など。余禄にベルヌイ，リッカチ，クレーロー，
ラグランジュ型を載せました。
等角写像と流体力学への応用例 [２００８．０７．１３]
・等角写像のお話と流体力学への応用例です。
分岐点とリーマン面 [２００８．０７．０６]
・「複素平面上でのｎ価関数はｎ葉のリーマン面上では１価関数とみなせる」という言葉の意味がわかるようになります。
解析接続 [２００８．０７．０５]
・解析接続のわかりやすい解説がなかなか見当たらなかったので，対話形式でまとめてみました。
もっともこの小稿を読んで分かるという保証はありませんが（＾＾）。
ポテンシャル [２００８．０６．３０]
・対話形式でいろいろなポテンシャル場の計算をやっています。
テンソル談議 [２００６．０６．２３] ⇒ ２０１２．１０．３０ 全面更新・完結
・対話でテンソル談議を進めています。対称テンソル，反対称テンソルあたりで中断しています。その内再開予定。
ルベーグ積分への遥かなる道程（１） [２００６．０６．２３]
・対話形式で進めています。まだ道3分あたりでとまっています。その内再開する予定です。
Strum-Liouville方程式とGreen関数（２） [２００６．０６．２３]
・常微分方程式（Strum-Liouville Eq）の各種境界条件（ディレクレ条件，ノイマン条件，ロバン条件）での解き方を
扱っています。
対話・グリーン関数（１） [２００６．０３．２５]
・グリーン関数の物理的意味とヘルムホルツ型方程式のGreen関数，波動方程式のGrenn関数を取り扱っています。
上のStrum-Liouville(2)と対になっています。
対話・ローラン展開と留数・主値積分 [２００６．０３．０４]
・複素関数論でのローラン展開は一つの山場と思います。ローラン展開の分かりやすい解説と演習問題を多く載せ
ました。留数計算と主値積分の説明。
ロジスティック曲線 [２００５．０２．１３]
・生物の自然増加現象の説明にロジスティック曲線が使われますが，ここでは米国の１７９０年から１９３０年までの
人口増加がロジステイック方程式での予測に合致していることを紹介しています。
対話・線積分 [２００４．１０．０６]
・初めて線積分を習ったとき，なかなかイメージが掴みにくいと思います。ここでは対話形式で初心の時に感じる障壁
を低くし，線積分に親しめるように心がけました。
ベクトルのスケッチ [２００４．０１．０９]
・ベクトル演算の公式をまとめました。
変分法小考 [２００３．１１．０１]
・解析力学でまず最初に出てくるのは変分法ですが，変分法の物理的意味を中心にまとめました。
Fourier変換あれこれ [２００１．０９]
・波動方程式のフーリエ変換とかKramaers-Kronigの分散関係式を導出しています。
複素関数論入門（３） [２００１．０９]
・複素関数論の入門です。留数定理やローラン展開等の話は「対話・ローラン展開と留数・主値積分」を参照ください。
複素関数論入門（２） [２００１．０９]
・複素関数論の入門です。留数定理やローラン展開等の話は「対話・ローラン展開と留数・主値積分」を参照ください。
複素関数論入門（１） [２００１．０９]
・複素関数論の入門です。留数定理やローラン展開等の話は「対話・ローラン展開と留数・主値積分」を参照ください。